Question

谁会这2题定积分的，帮用纸详细写一下感谢？

求定积分的题

Answer 1

..................(4).计算：

(2). 在第一象限内，求曲线y=-x²+1上一点，使过该点的切线与曲线和两坐标轴所围的面积

最小；

请点击输入图片描述y=-x

y=-x²+1；y'=-2x；故过曲线上一点(xo，yo)=xo,-xo²+1)的切线方程为：

y=-2xo(x-xo)+yo=-2xox+2xo²+(-xo²+1)=-2xox+xo²+1;

令x=0，得切线与y轴的交点坐标(0，xo²+1)；令y=0得切线与x轴的交点的坐标(xo²+1)/2x0;

曲线与y轴的交点的坐标为(0，1); 曲线与x轴的交点的坐标为(1，0)；

故所围面积S=切线与两坐标轴所围三角形的面积S₁-曲线与两坐标所围面积S₂；

其中S₁=(xo²+1)²/4xo;   

故所围面积(红色区域)S=(xo²+1)²/4xo-2/3；

现在求其最小值：令dS/dxo=[xo•2(xo²+1)•2xo-(xo²+1)]/4xo²=(4xo²-1)(xo²+1)/4xo²=0

得极小点xo=1/2；故此面积的最小值=(1/4+1)²/2-2/3=25/32-(2/3)=11/96；

Answer 2

第三题，

切点（3/3，2/3）

面积（4√3-6）/9

追答

第四题（1/2）ln2
见下图下边

追问

切点怎么设的

追答

∵y=-x²+1
∴设切点横坐标m,
则纵坐标-m平房+1

∵y=-x²+1
∴设切点横坐标m,
则纵坐标-m²+1

追问

感谢

Answer 3

详细过程…如图…所示

追问

y0等于多少，没看懂你算的

追答

把x0等于三分之根3带入进去就是最小值呀

Answer 4

(3)
A(x0,y0) 在 y=-x^2+1 上
A(x0,y0) = ( x0, -(x0)^2 +1)
y'=-2x

y'(x0)=-2x0
切线方程 A
y+(x0)^2 -1 = -2x0. ( x- x0)
x轴 ： y=0
y+(x0)^2 -1 = -2x0. ( x- x0)
0+(x0)^2 -1 = -2x0. ( x- x0)
2x0.x = (x0)^2 +1
x = [(x0)^2 +1]/(2x0)
B= ([(x0)^2 +1]/(2x0) , 0)
y轴 ： x=0
y+(x0)^2 -1 = -2x0. ( x- x0)
y+(x0)^2 -1 = 2(x0)^2
y=(x0)^2 +1
C= (0, (x0)^2 +1)
三角形的面积 S
=(1/2) {[(x0)^2 +1]/(2x0) } .[ (x0)^2 +1 ]

=(x0)^2 +1]^2/(4x0)
S =(1/4)[ (x0)^3 +2x0 + 1/x0]
S' =(1/4) [3(x0)^2 +2 - 1/(x0)^2]
S'=0
3(x0)^4 +2(x0)^2 - 1 =0
[3(x0)^2 - 1][ (x0)^2 +1] =0
x0 = √3/3
ie
min S at S0= √3/3
min S = (1/4) √3.[1/3 +1]^2 = 4√3/9
(4)

let
1/[x(x^2+1)]≡A/x +(Bx+C)/(x^2+1)
=>
1≡A(x^2+1) +(Bx+C)x
x=0, => A=1
coef. of x^2
A+B=0
B=-1
coef. of x, => C=0
1/[x(x^2+1)]
≡A/x +(Bx+C)/(x^2+1)
≡1/x -x/(x^2+1)
∫(1->+∞) dx/[x(x^2+1)]

=∫(1->+∞) [1/x -x/(x^2+1)] dx
=ln| x/√(x^2+1)| |(1->+∞)
=-ln( 1/√2)
=(1/2)ln2

Answer 5