已知过椭圆x2/5+y2/4=1的右焦点作一条直线与椭圆交于AB两点,O为坐标原点求S△OAB最大
已知过椭圆x2/5+y2/4=1的右焦点作一条直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值。...
已知过椭圆x2/5+y2/4=1的右焦点作一条直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值。
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你不得好死！
💩💩💩
👻👻👻
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椭圆x^2/5+y^2/4=1①的右焦点为F(1,0),
过F的直线AB为x=my+1,②
把②代入①*20，4(m^2y^2+2my+1)+5y^2=20,
整理得(4m^2+5)y^2+8my-16=0,
△=64m^2+64(4m^2+5)
=320(m^2+1),
所以|AB|=√[△(1+m^2)]/(4m^2+5)=8(1+m^2)√5/(4m^2+5),
O到AB的距离h=1/√(1+m^2),设u=√(1+m^2)>=1,则
S△OAB=(1/2)|AB|h=4u√5/（4u^2+1）=4√5/(4u+1/u)<=4√5/5，
当u=1时取等号，
所以S△OAB的最大值是4√5/5.
过F的直线AB为x=my+1,②
把②代入①*20，4(m^2y^2+2my+1)+5y^2=20,
整理得(4m^2+5)y^2+8my-16=0,
△=64m^2+64(4m^2+5)
=320(m^2+1),
所以|AB|=√[△(1+m^2)]/(4m^2+5)=8(1+m^2)√5/(4m^2+5),
O到AB的距离h=1/√(1+m^2),设u=√(1+m^2)>=1,则
S△OAB=(1/2)|AB|h=4u√5/（4u^2+1）=4√5/(4u+1/u)<=4√5/5，
当u=1时取等号，
所以S△OAB的最大值是4√5/5.
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