Question

计算曲线积分i= ∮L(-ydx+xdy)/(x^2+y^2) ,其中L为沿着椭圆X^2/100+Y^2/144=1的正向逆时针方向）

Answer 1

由题设，知曲线积分的P＝-y/(x^2+y^2) 

，Q=x/(x^2+y^2) 

，且它们在C所围成的区域里具有一阶连续偏导数

容易求得：

偏Q/偏x＝(-x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2 ，

偏P/偏y＝(-x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2 ，

偏Q/偏x-偏P/偏y=0

由格林公式得∮C(xdy-ydx)/(x^2+y^2）=∫∫G（偏Q/偏x-偏P/偏y）dxdy=0

答：

用格林公式。

∫ Pdx+Qdy，即P=-y/(4x^2+y^2)，Q=x/(4x^2+y^2)。

有σP/σy=(-4x^2-y^2+2y^2)/(4x^2+y^2)^2=(y^2-4x^2)/(4x^2+y^2)^2；

σQ/σx=(4x^2+y^2-8x^2)/(4x^2+y^2)=(y^2-4x^2)/(4x^2+y^2)^2

得σP/σy=σQ/σx，即积分结果与路径无关。

又曲线不过原点，令x=cosθ，y=2sinθ，其中θ从汪隐0到2π。

得∫(0到2π) [2(cosθ)^2+2(sinθ)^2]/4[(cosθ)^2+(sinθ)^2] dθ

=∫(0到2π) 1/2 dθ

=π

扩展资料：

曲线积分分为：

（1）对弧长的曲线积卜返分 （第一类曲线积分）

（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的型陵饥曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

参考资料来源:百度百科-曲线积分