Question

f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）可微,且f（x）导数的绝对值小于1,f（0）=f（1）=0

证明对于[0,1]上的任意两点x1,x2,恒有f（x1）-f（x2）的绝对值小于1/2

Answer 1

反证法，假定在[0,1]有两个点a,b(a<b)使得|f(b)-f(a)|>0.5
根据拉格朗日中值定理，在(a,b)中存在点c使得f(b)-f(a)=(b-a)*f'(c)
即有：|f(b)-f(a)|=(b-a)*|f'(c)|>0.5
已知|f'(c)|<1，所以必须：b-a>0.5 （后面要用这个结论）
再两次利用拉格朗日中值定理：
在(0,a)中存在d使得：f(a)-f(0)=a*f'(d)
在(b,1)中存在e使得：f(1)-(b)=(1-b)*f'(e)
两式相加并利用f(0)=f(1)得：f(a)-f(b)=a*f'(d) + (1-b)*f'(e)
根据绝对值不等式得：|f(a)-f(b)|≤a*|f'(d)| + (1-b)*|f'(e)|
因为|f'(d)|和|f'(e)|都<1，所以得：|f(a)-f(b)|<a+(1-b)
前面已经得知：b-a>0.5，所以：a+(1-b)=1-(b-a)<0.5
即：|f(a)-f(b)|<0.5
这与反证法假设矛盾
证毕
这个题太精彩了