Question

导函数在其定义域内不存在第一类间断点，但f(x)＝|x|我认为还是在x＝0处为第一类间断点

Answer 1

楼上的错误太低级，函数可导只能推出连续，不可能推出导函数也连续。如果函数f(x)在某开区间上可导，那么其导函数在这个区间上没有跳跃型间断点，这是由导函数的介值性质(即Darboux定理)得到的。假定x0是fapos;(x)的跳跃型间断点，比如a=fapos;(x0-)fapos;(x0+)=b，取x0充分小的邻域(x0-d,x0+d)，使得当0td时总有fapos;(x0-t)(b+2a)/3 (a+2b)/3 fapos;(x0+t)，这样在x0的局部fapos;(x)将不可能取到(a+b)/2附近的值，和Darboux定理矛盾。当然，对于导函数的间断点，最好讲得严谨一些，不然是可以找出跳跃间断点的例子的。比如说，x的导函数，虽然x=0处不可导，但如果不讲清楚的话在讨论导函数的时候可以认为x=0是一个跳跃间断点。