Question

AR模型的稳定性

Answer 1

AR（p）模型稳定的充分必要条件是H（z）的极点（即A（z）的根）都在单位圆内。如果Yule-Walker方程的系数矩阵是正定的，则其解a_k（k=1，2，…，p）所构成的A（z）的根都在单位圆内。在用Levinson算法进行递推计算的过程中，还可得到各阶AR模型激励信号的方差

（k=1，2，…，p），它们都应当是大于零的，即

。根据式（4-25）可知，必有｜γ_k+1｜＜1和

（k=1，2，…，p）。这就是说，在Levinson算法递推计算过程中，如果有

＜

或，｜γ_k+1｜＜1，则AR（p）模型一定是稳定的。反之，稳定的AR（p）模型将具有以下性质：

（1）H（z）的全部极点或A（z）的所有根都在单位圆内。

（2）自相关矩阵是正定的。

（3）激励信号的方差（能量）随阶次增加而递减，即

。

（4）反射系数的模恒小于1，即，γ_k＜1，k=1，2，…，p。

但在实际应用中，Levinson算法的已知数据（自相关值）是由x_N（n）来估计的，有限字长效应有可能造成大的误差，致使估计出来的AR（p）参数所构成的A（z）的根跑到单位圆上或外，从而使模型失去稳定。在递推计算过程中如果出现这种情况，将导致

或，｜γ_k｜≥1，即停止递推计算。

若将式（4-22）中的自相关矩阵R定为

地球物理信息处理基础

并记其行列式的值为detR_p+1。矩阵R_p+1与AR（p）模型稳定性的关系有以下三个结论。

结论1：如果R_p+1是正定的，那么，由Yule-Walker方程解出的a_k（k=1，2，…，p）构成的p阶AR模型是稳定的，且是唯一的。也即A（z）的零点都在单位圆内。此性质为AR模型的最小相位性质。

结论2：若x（n）由p个复正弦波组成，即

地球物理信息处理基础

式中：C_k、ω_k为常数；φ_k是在（-π，π）内均匀分布的零均值随机变量；x（n）的自相关函数为

地球物理信息处理基础

则由前p+1个值r_xx（0）、r_xx（1）、…、r_xx（p）组成的自相关矩阵R_p+1是奇异的，而R₁、R₂、…、R_p是正定的，即

det R_p+1=0，det R_k＞0 k=1，2，…，p （4-55）

结论2说明，一般情况下，若x（n）由复正弦波组成，R_M是其M×M的自相关矩阵，那么，当M＞p时，R_M的秩最大为p，即rankR_M=p，但若x（n）由p个实正弦波组成，则R_M的秩最大为2p。

结论3：若x（n）由p个正弦波组成（实的或复的），则x（n）是完全可以预测的，即预测误差为零。

结论2给出了R_p+1何时奇异、何时正定的条件，它和结论3一起揭示了正弦信号的某些性质。特别需要指出的是：用AR模型对纯正弦信号建模是不合适的，可能会出现自相关矩阵为奇异的情况。但是，在信号处理中经常要用正弦信号作为实验信号以检验某个算法或系统的性能。为了克服自相关矩阵奇异的情况，最常用的方法是给正弦信号加上白噪声，这样det R_p+1不会等于零。