Question

第十五题如何证明？

数学与应用数学专业
实变函数

Answer 1

给你思路自己证
设E是Rn的某个子集,以下3个命题等价:
(1)E是有界闭集(2)E是紧集(3)E中任何数列都有收敛至E的子列(自列紧集)
你的题目在问紧集和自列紧集的等价性,紧集推自列紧集很容易,设E是紧集,假设E中某个数列{xn}无收敛至E的子列,则对於任意x∈E,存在δ,使得邻域B(x,δ)中最多只有{xn}的有限个点.当x取遍E中所有点时,邻域B(x,δ)组成了E的无限开覆盖.根据E是紧集,可以挑出有限个子覆盖盖住E.而{xn}是E中的数列,这有限个子覆盖自然也可以盖住{xn}.然而,因为每个邻域B(x,δ)中都只有{xn}的有限项,这有限个子覆盖中当然也只含有{xn}的有限项,即这有限个子覆盖无法盖住{xn},矛盾.
自列紧集推紧集有点麻烦,要先从自列紧集推出(1),再从(1)推(2).(1)推(2)容易,这就是有限覆盖定理.而(3)推(1)可以分别证明有界性和是闭集

追问

我就是有界闭集证不出来

追答

......
首先引入极限点的概念.设A是一个集合,a是一个点,它可以属於A,也可以不属於A.如果对於任意ε>0,在去心邻域B0(a,ε)上总有A中的点,或者说A交B0(a,ε)非空,那麼就把a叫做A的极限点.有了极限点的概念,那麼我上面的(3)可以改成E中任何一个数列都有在E中的极限点.
有界:假设E无界,则取n=1,存在x1,满足|x1|>1;取n=2,存在x2,满足|x2|>2......这样构造出一个数列{xn}.由於{xn}是E中的数列,所以{xn}有极限点x0.
取ε=1,则在去心邻域B0(x0,1)上存在某个xn1∈{xn},或者有0nk≥k,於是k<1/k+|x0|,或k-1/k<|x0|
然而,易证函数y=x-1/x在(0,+∞)上无界,也就是说当k充分大时,k-1/k可以大过给定的正数,这和k-1/k<|x0|矛盾,所以假设错误,E有界
闭集:根据闭集的性质,如果一个集合等於它的闭包,或者E=E∪E'(注意这个关系代表了E'包含於E),这个集合一定是闭集.

所以如果E不是闭集,那就意味著有部分E的极限点不在E内.不妨假设x是E的极限点,但却不属於E.根据极限点的定义,
取ε=1,则在去心邻域B0(x,1)上存在某个x1∈E,或者有0<|x1-x|<1
取ε=1/2,则在去心邻域B0(x,1/2)上存在某个x2∈E,或者有0<|x2-x|<1/2
...
取ε=1/n,有0<|xn-x|<1/n
这样一来构造了一个E中的数列{xn},它有极限点x∉E,并且不再有其他的极限点(因为数列收敛那麼子列也收敛,并且子列极限与数列相同),但这与E中任何数列都有在E中的极限点矛盾.所以E是闭集

你是有界不会还是闭集不会？？？

追问

有界

追答

假设无界，那么对任意一个自然数n，在E中都有某点xn满足|xn|>n，显然，{xn}在Rn中无极限点，也就是没有收敛的子列，那么就和E的性质矛盾了呀

Answer 2

太难了。。。。。

Answer 3

几年级的题

追问

大三