Question

高数，第二题怎么做？

Answer 1

2、设y=∑(n=0->∞) an*x^n，其中a1,a2,...为待定系数
y'=∑(n=1->∞) n*an*x^(n-1)
y''=∑(n=2->∞) n(n-1)*an*x^(n-2)
代入原方程：y''-xy'+y=0
∑(n=2->∞) n(n-1)*an*x^(n-2)-x*∑(n=1->∞) n*an*x^(n-1)+∑(n=0->∞) an*x^n=0
∑(n=0->∞) (n+2)(n+1)*a(n+2)*x^n-∑(n=0->∞) n*an*x^n+∑(n=0->∞) an*x^n=0
∑(n=0->∞) [(n+2)(n+1)*a(n+2)-(n-1)*an]*x^n=0
所以(n+2)(n+1)*a(n+2)-(n-1)*an=0
a(n+2)=[(n-1)/(n+1)(n+2)]*an
an=[(n-3)/(n-1)n]*a(n-2)
=[(n-3)/(n-1)n]*[(n-5)/(n-3)(n-2)]*a(n-4)
=......
当n为偶数，则
an={[(n-3)(n-5)...1*(-1)]/[n(n-1)...2*1]}*a0
=-[(n-3)!!/n!]*a0
当n为奇数，则
an=0
所以y=∑(n=0->∞) an*x^n
=∑(k=0->∞) -[(2k-3)!!/(2k)!]*a0*x^(2k)