Question

求大神指点这个高数题怎么解的

Answer 1

首先，明确了选择y为积分变量，意思就是沿y轴积分，这时需要确定y的最大变化范围：从0到2a.
用直线x＝pai*a把摆线分成左X＝X1(y)、右X＝X2(y)两段，所求旋转体的体积等于由y轴、x轴、y＝2a和x＝X2(y)围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积减去由y轴、x轴、y＝2a和x＝X1(y)围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积，也就是第三个等号右端的式子。
题主给出的解法通常被称为微元法，基本意思是：沿y轴积分、积分限为从0到2a确定后，在y轴上0到2a之间任选一点y，过这点做平行于旋转体底面的平面，该平面截旋转体得一截面，设该截面的面积为A(y)，则所求旋转体的体积就等于A(y)从0到2a积分。而现在显然A(y)＝pai[X2(y)^2]-pai[X1(y)^2]，因此所求旋转体体积就等于第三个等号右端。

追问

我想问下那个积分上下限从[0,2a]怎么变到[2pi,pi]和[0,pi]的呢。

追答

积分最终是转化为参数方程计算的，当然积分限应变成参数t对应的变化区间。对于x＝X2(y)的一段，参数是从pai变化到2pai；对于x＝X1(y)的一段，参数是从0变化到pai。