Question

第二小题求详解

Answer 1

（2) 解：l: y=kx+1 与y轴交于 点C（0，1），设A(x1,y1), B(x2,y2)

AC=2CB ===>(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1)===> -x1=2x2===>x1=-2x2
===>x1+2x2=0
由 y=kx+1 与 3x^2+y^2=a 联解消去y, 整理得：（k^2+3)x^2+2kx+1-a=0
x1+x2=-2k/(k^2+3) ===>x2=2k/(k^2+3)............(1)
设原点O到直线AB：kx-y+1=0的距离为D0, 则D0=1/根号（1+k^2)
三角形AOB 的面积S=|AB|*D0/2=|x1-x2|/2===>S^2=(x1^2+x2^2-2x1x2) /4=9x2^2/4
将（1）式代入上式，化简得 S^2=9k^2/(k^2+3)^2===>S=3|k|/(k^2+3)
S是k的函数，且是偶函数，不妨设k>0, S=3k/(k^2+3)=3/(k+3/k)
当k+3/k 取得最小值时，三角形AOB 的面积S最大，此时 k+3/k>=2根号3，且k=3/k===>k=根号3. Smax=3/2根号3=根号3/2.
又 x1x2=(1-a)/(k^2+3)=(1-a)/6 =-2x2*x2=-2*4k^2/(k^2+3)^2=-8*3/36=-2/3
解，得 a=5.
所以 三角形AOB 的面积最大值是：根号3/2. 此时 椭圆方程为：3x^2+y^2=5.