Question

这道高数题怎么证？

Answer 1

令f(x)=x-ln(1+x)，则
f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)
当x∈(-1,0)时，f'(x)<0也就是f(x)单调递减
当x∈(0,+∞)时，f'(x)>0也就是f(x)单调递增
所以当x>-1,
f(x)≥f(0)=0-0=0
故
x≥ln(1+x)
令g(x)=ln(1+x)-x/(1+x)，则
g'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)²=x/(1+x)²
当x∈(-1,0)时，g'(x)<0也就是g(x)单调递减
当x∈(0,+∞)时，g'(x)>0也就是g(x)单调递增
所以当x>-1,
g(x)≥g(0)=0-0=0
故
ln(1+x)≥x/(1+x)
综上所述命题得证

追问

用拉格朗日定理

Answer 2

4.证明：令g(x)=f(x)-x，则由题设知，g(x)在闭区间[a,b]上连续，再由题设f(a)<a,f(b)>b得
g(a)=f(a)-a＜0，g(b)=f(b)-b＞0，
故由零点定理知，在开区间(a,b)内至少有一点c，使得g(c)=f(c)-c=0，即f(c)=c.

追问

？