Question

(罗尔定理的证明)最下面，为什么一个≤0一个≥0

Answer 1

设f(x)=x^3-3x+1

则，f(0)=1＞0

f(1)= -1＜0

根据零点定理，

f(x)在（0，1）内至少有一个零点。

下面证明唯一性，用反证法：

假设f(x)在（0，1）内至少有两个零点a＜b，

因为f(a)=f(b)=0

f(x)在[a，b]上满足罗尔定理的三个条件，

根据罗尔定理，存在ξ∈(a，b)

使得：f '(ξ)=0

f '(ξ)=3ξ^2-3=3(ξ^2-1)＜0

所以，f '(ξ)=0不成立，矛盾。

所以假设f(x)在（0，1）内至少有两个零点错误。

于是，f(x)在（0，1）内只有一个零点。

即方程在（0，1）内只有一个实根，