Question

如图，讨论函数的一致连续性？求过程！

Answer 1

闭区间上的连续函数，总是一致连续的。如果x-->+∞，y的极限有限，也是一致连续的：
现在，lim(x-->+∞）³√【x²/（x+1）】=+∞，因此，该函数在x≥0上，不是一致连续的。

追问

这个x趋于正无穷，y的极限也为正无穷的例子多了，可是不也不是都不一致连续吧，不应该是导数的事情么。

追答

一致连续的定义是，

对于任意点x
y(x+Δ)-y(x)=³√[（x+Δ）²/（（x+Δ）+1）]-³√[x²/（x+1）],
有一个无穷小小正数δ，只要|Δ|≤δ，都有|y(x+Δ)-y(x)|≤ε，ε是一个任意小的正数，
显然，要求δ与ε有关，但是与x无关。
|³√[（x+Δ）²/（（x+Δ）+1）]-³√[x²/（x+1）]|≤ε
一致连续，对于导数没有要求。如果导数在整个定义域存在，当然可以用导数来求解。
根据中值定理，存在ξ∈（x，x+Δ），使得：
y(x+Δ)-y(x)=f'(ξ)Δ,Δ-->0,f'(ξ)-->f'(x),上面的不等式化为：
|f'(ξ)Δ|≤ε，|Δ|≤ε/|f'(ξ)|
设|f'(ξ)|最小值=M，则取δ=ε/M，|Δ|≤δ,必有|y(x+Δ)-y(x)|≤ε，而与x无关。
显然，要求M>0
本题：y'(x)=(1/3)[x²/（x+1）]^(-2/3).[2x(x+1)-x²]/(x+1)²
=(1/3)[x²/（x+1）]^(-2/3).[x²+2x]/(x+1)²
=(1/3)x^(2/3)[x+2]/(x+1)^(4/3)
=(1/3)[x^(5/3)+2x^(2/3)]/(x+1)^(4/3)
x≥0，y'(0)=0，除去该点，y'(x)>0
但是，根据连续性y'(x)可以无限接近于0，ε/|f'(ξ)|在x=0附近，将趋近于无穷大。因此，不是一致连续的。
不用导数的一般方法：

-ε≤³√[（x+Δ）²/（（x+Δ）+1）]-³√[x²/（x+1）]≤ε
解出上面不等式中的Δ的范围，并且求对于x的极小值。如果有无穷小的解，就能求解。

前面写错了，δ应该是ε/|y'（x）|的最小值，相应M是|y'（x）|的最大值，这个最大值，不能是无穷大。否则，δ=0,矛盾。

本题，y'（x）分子指数高于分母指数，x→十∞，y'（x）→十∞，
因此不是一致连续。