Question

求高阶微分方程

Answer 1

令y'=p，y''=pdp/dy
则原方程化为ypdp/dy-p²=yp
p=0时y'=0，即得到方程的一个解y=C
p≠0时，ydp/dy-p=y
即dp/dy=p/y+1
先求对应的齐次方程dp/dy=p/y
dp/p=dy/y，ln|p|=ln|y|+ln|C|，p=Cy
由常数变易法，令p=C(y)y，
代入方程dp/dy=p/y+1得
C'(y)=1/y，C(y)=ln|y|+C1
p=y(ln|y|+C1)
即y'=y(ln|y|+C1)
dy/[y(ln|y|+C1)]=dx
ln|ln|y|+C1|=x+C2
ln|y|+C1=C2 e^x
ln|y|=C2 e^x -C1
y=C1 e^(C2 e^x)

Answer 2

我找了一个答案，

Answer 3

设 y' = dy/dx = p(y),
则 y'' = dp(y)/dx = [dp(y)/dy](dy/dx) = p(y)dp(y)/dy
微分方程 yy'' - (y')^2 = yy' 化为
ypdp/dy - p^2 = yp
p(ydp/dy-y-p) = 0
(1) ydp/dy-y-p = 0, 即 dp/dy - p/y = 1
p = e^(∫dy/y)[∫1e^(-∫dy/y)dy + C1] = y[∫dy/y + C1] = y(lny+C1)
即 dy/dx = y(lny+C1), dy/[y(lny+C1)] = dx,
d(lny+C1)/(lny+C1) = dx , ln(lny+C1) = x + lnC2
lny+C1 = C2 e^x, 通解是 y = e^(C2e^x - C1)。
(2) p = dy/dx = 0, 通解是 y = C

Answer 4

希望有所帮助