Question

数学大佬看一下 全微分的必要条件和充分条件是什么意思呀，在这里为什么叫必要条件和充分条件呢 谢谢

Answer 1

全微分于某点存在的充分条件：函数在该点的某邻域内存在所有偏导数且所有偏导数于此点连续。

全微分于某点存在的必要条件：该点处所有方向导数存在。

全微分于某点存在的充要条件：若存在一个二元函数u（x，y）使得方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0的左端为全微分，即M（x，y）dx+N（x，y）dy=du（x，y），则称其为全微分方程。全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。现在一般叫倒易关系或者Euler倒易关系。

如果函数

z=f（x，y）在（x，y）处的全增量

Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）

可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），

其中A、B不依赖于Δx，Δy，仅与x，y有关，ρ趋近于0（ρ=√［（Δx）2+（Δy）2］），此时称函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f（x，y）在点（x，y）处的全微分，记为dz即dz=AΔx+BΔy，该表达式称为函数z=f（x，y）在（x，y）处（关于Δx，Δy）的全微分。

以上内容参考：百度百科-全微分

Answer 2

全微分于某点存在的充分条件：
函数在该点的某邻域内存在所有偏导数且所有偏导数于此点连续。

全微分于某点存在的必要条件：
该点处所有方向导数存在。

全微分于某点存在的充要条件：
若存在一个二元函数u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端为全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)，则称其为全微分方程。全微分方程的充分必要条件为
∂M/∂y=∂N/∂x。
现在一般叫倒易关系或者Euler倒易关系。

Answer 3

必要条件偏导数存在,充分条件偏导数连续,充要条件是曲面在该点具有切平面.