Question

高数题目求解

Answer 1

如图，先画图。两个等粗圆柱垂直相交得到的立方体,大概是下面这样……

有点像是个“四方粽”，但是在侧视图（垂直于xOz面）和俯视图（垂直于xOy面）都是一个圆形。只有在正视图（垂直于yOz面）下图，才是正方型。

观察积分式∫∫∫(x²+y+z)dV ，以及此正视图。

由于积分立体区域，关于y=0平面和z=0平面对称，所以积分函数中的(y+z)奇函数正负抵消了！

所以：∫∫∫(x²+y+z)dV  == ∫∫∫(x²)dV 

不仅如此，积分区域和被积函数 x²，还关于 y=z和 y=-z平面对称。

所以整个积分区域可以划分为8个对称的部分（如下图）

故只需取其中的一个部分，以y≥z≥0（介于y轴正和y=z之间）为例，此部分记为Ω1

则Ω1立体图如下图：

得到的是圆柱体的1/4，被y=0;z=0;z=a;y=z 四个平面截得的。

从yOz视角看过去是个三角形。则积分区域的高度(z坐标上限)z(y)=y，因为是z=y平面所截得的。

那么可以将该积分区域沿着z轴负方向压缩为xOy平面的薄片，压缩后的被积函数要乘上原来的高度z(y)=y。

计算如下：

如图，如有疑问或不明白请追问哦！如经常需要问此类问题，可以点个关注哦。