高数题目求解
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如图,先画图。两个等粗圆柱垂直相交得到的立方体,大概是下面这样……
有点像是个“四方粽”,但是在侧视图(垂直于xOz面)和俯视图(垂直于xOy面)都是一个圆形。只有在正视图(垂直于yOz面)下图,才是正方型。
观察积分式∫∫∫(x²+y+z)dV ,以及此正视图。
由于积分立体区域,关于y=0平面和z=0平面对称,所以积分函数中的(y+z)奇函数正负抵消了!
所以:∫∫∫(x²+y+z)dV == ∫∫∫(x²)dV
不仅如此,积分区域和被积函数 x²,还关于蚂老 y=z和 y=-z平面对称。
所以整个积分区域可以划分为8个对称的部分(如下图)
故只需取其中的一个部分,以y≥z≥0(介于y轴正和y=z之间)为例,此部分记为Ω1
则Ω1立体图如下图:
得到的是圆柱体的1/4,被y=0;z=0;z=a;y=z 四个平面截得的。
从yOz视角看过去是个三角形。则积分区域的高度(z坐标上限)z(y)=y,因为是z=y平面所截得的。
那么可以将该积分区域沿着z轴负方向压缩为xOy平面的薄片,压缩后的被积函数要乘上原来的高度z(y)=y。
计算如下瞎物液:
如图磨物,如有疑问或不明白请追问哦!如经常需要问此类问题,可以点个关注哦。
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