Question

求级数的和函数∑x^(n+2)/(n+1)(n+2)

Answer 1

令an
=
(n
+
1)(n
+
2)
由比值审敛法：p
=
lim(n->无穷)an/an+1
=
1
=>收敛半径r
=
1/p
=
1=>收敛域：（-1,1）
下面来讨论x
=
-1和1处的敛散性：
1.当x
=
1时，原级数e(n
+
1)(n
+
2)明显发散，因为一般项不趋于0；
2.当x
=
-1时，原级数为交错级数，不符合莱布尼茨审敛条件，故发散；
综上：原级数的收敛区间为(-1,1)
设和函数为s(x)
对原级数每一项逐项积分2次得t(x)
=
ex^(n
+
2);这是一个首项x^3，公比x的等比级数，
当-1t(x)是由s(x)2次积分而来，所以对t(x)2次求导就得到s(x)
s(x)
=
2x(x^2
-
3x
+
3)/(1
-
x)^3