Question

已知函数f(x)=ax³+cx+d(a≠0)是R上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值-2.

1）求函数f(x)的单调区间和极大值
2）证明：对任意X1,X2∈（-1，1），不等式|f(X1)-f(X2)|＜4恒成立

Answer 1

1）
因为：f(x)是奇函数
所以：f(0)=d=0
函数f(x)的定义域和值域关于原点(0,0)对称
又因为：当x=1时，f(x)取得极值-2
所以：当x=-1时，f(x)=f(-1)=-f(1)=2,即f(x)的另一个极值为2
所以：函数f(x)的单调区间为[-1,1],极大值为2
2）
证明：
因为：函数f(x)为奇函数，且极大值f(-1)=2,极小值f(1)=-2
所以：对任意X1,X2∈（-1，1），|f(x1)|<2,|f(x2)|<2
所以：|f(X1)-f(X2)|<=|f(x1)|+|f(x2)|<|f(1)|+|f(-1)|=4
即|f(X1)-f(X2)|＜4恒成立。