Question

如何用中值定理证明x/(1+x)<ln(1+x)<x，x>0？

Answer 1

不等式两边同除以x，因为x大于0，不等号方向不变；即

1/(1+x)<ln(1+x)/x<1;

又ln1=0;观察中间发现，这个刚好是拉格朗日中值定理的形式

即存在c∈(1,1+x),使得漏余

ln(1+x)/x=【ln(1+x)-ln1】/x=1/c;

因为c∈(1,1+x)；

所以1/(1+x)<1/c<1得证。

扩展资料：

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。

几何意义

若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

运动学意义

对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分尘圆中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要返兄滚组成部分。

Answer 2

去f=ln(1+x)，f的导数就是1(1+x)，这个导数是在正实数上是单调递减的。分别取0点和x点做拉格朗枣者岩日中值定理的端点，列出比例式子，而这个等于0到x之间的某个点的导数。由导数嫌嫌的单调性知道，这个值比在0点的导数小，也就是比1小，比在x出的导数大，也就是比1(1+x)大。公式太难打了，我已经说明白了。你写出来凳御变形一下就可以了。