Question

如何用中值定理证明x/(1+x)<ln(1+x)<x，x>0？

Answer 1

不等式两边同除以x，因为x大于0，不等号方向不变；即

1/(1+x)<ln(1+x)/x<1;

又ln1=0;观察中间发现，这个刚好是拉格朗日中值定理的形式

即存在c∈(1,1+x),使得

ln(1+x)/x=【ln(1+x)-ln1】/x=1/c;

因为c∈(1,1+x)；

所以1/(1+x)<1/c<1得证。

扩展资料：

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。

几何意义

若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

运动学意义

对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

Answer 2

去f=ln(1+x)，f的导数就是1(1+x)，这个导数是在正实数上是单调递减的。分别取0点和x点做拉格朗日中值定理的端点，列出比例式子，而这个等于0到x之间的某个点的导数。由导数的单调性知道，这个值比在0点的导数小，也就是比1小，比在x出的导数大，也就是比1(1+x)大。公式太难打了，我已经说明白了。你写出来变形一下就可以了。