Question

在数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3(n大于等于1)，求数列｛an｝的通项an。

Answer 1

解：此题用“构造法”将原数列an的递推公式a(n+1)=2an+3构造一下，
使两边有“相似”部分，令a(n+1)+x=2(an+x)，化简得a(n+1)=2an+x，
即x=3，则a(n+1)+3=2(an+3)，即可得到如下数列：
a2+3=2(a1+3)
a3+3=2(a2+3)
a4+3=2(a3+3)
···
a(n+1)+3=2(an+3)
由a1=1，可知a1+3=4，则数列an+3是一个以4为首项，2为公比的等比数列，
即an+3=4×2^(n-1)，化简得an=2^(n+1)-3

Answer 2

用“构造法”将an的递推公式a(n+1)=2an+3改变为两边有“相似”的部分，
令a(n+1)+x=2(an+x)，则a(n+1)=2an+x，即x=3，
∴a(n+1)+3=2(an+3)，
则数列{an+3}是公比q=2的等比数列
∵a1=1
∴a1+3=4
∴数列{an+3}的首项为4
∴an+3=4×2^(n-1)
an=2^(n+1)-3