Question

高中数学三角恒等变换

1.函数y=sin(x)^4+cos(A/2)^2的最小周期是( ) (这种复合函数的周期怎么算?) A.2π B.π C.π/2 D.π/4 2.函数y=sin(x)cos(x)+√(3)*cos(x)^2-√(3)/2的图像的一条对称轴方程是( ) A.x=-π/12 B.x=π/3 C.x=π/12 D.x=-π/6 3.已知sin(α+3π/4)=5/13,cos(π/4-β)=3/5,且α属于(-π/4,π/4),β属于(π/4,3π/4),求cos(α-β)的值. 4.已知α为第二象限角,且sinα=√(15)/4,求sin(α+π/4)/(sin2α+cos2α+1)的值. 5.已知O为坐标原点,向量OA=(2cos²x,1),向量OB=(1,√(sin2x)+a)(x属于R,a属于R且a为常数),若y=向量OA乘向量OB. (1)求y关于x的函数解析式f(x) (2)若x属于[0,π/2]时,f(x)的最大值为2,求a的值,并求f(x)的单调区间. 6.求2sin20°+cos10°+tan20°sin10°的值 要过程哈

Answer 1

1.函数y=sin(x)^4+cos(A/2)^2的最小周期是(
)
(这种复合函数的周期怎么算?)
A.2π
B.π
C.π/2
D.π/4
y=sin^4x+cos^2(x/2)
=(sin^2x)^2+cosx/2+1/2
=(1-cos2x)^2/4+cosx/2+1/2
=1/2(cos4x-cos2x+cosx)+5/4
对其中的三个余弦函数分别求出最小正周期，再取最小公倍数，即可得到最小正周期为2π，或者把答案代入到最终化简式，有f(x+T)=f(x)成立的选项就是。故选A。
2.函数y=sin(x)cos(x)+√(3)*cos(x)^2-√(3)/2的图像的一条对称轴方程是(
)
A.x=-π/12
B.x=π/3
C.x=π/12
D.x=-π/6
y=sin(x)cos(x)+√(3)*cos(x)^2-√(3)/2
=(1/2)sin2x+(√3/2)cos2x
=sin2xcos60°+cos2xsin60°
=sin(2x+60°)。
对称轴处取到极值，所以有2x+60°=2x+π/3=kπ+π/2
x=kπ/2+π/12.当k=0，选择c。
3.已知sin(α+3π/4)=5/13,cos(π/4-β)=3/5,且α属于(-π/4,π/4),β属于(π/4,3π/4),求cos(α-β)的值.
因为:
sin(α+3π/4)=5/13
所以:
sin(π/4-a)=5/13,0<π/4-a<π/2，所以:cos(π/4-a)=12/13.
cos(π/4-β)=3/5,-π/2<π/4-β<0,所以:sin(π/4-β)=-4/5.
所以:
cos(α-β)
=cos[(π/4-β)-(π/4-a)]
=cos(π/4-β)cos(π/4-a)+sin(π/4-β)sin(π/4-a)
=56/65.
4.已知α为第二象限角,且sinα=√(15)/4,求sin(α+π/4)/(sin2α+cos2α+1)的值.
解:由α为第二象限角，且sinα=(√15)/4,可以知cosa=-1/4
sin(α+π/4)]=√2/2(sina+cosa)=√2/2*(√15-1)/4=√2*(√15-1)/8
sin2α+cos2α+1=2sinacosa+cosa*cosa-sina*sina+1=-√15/8+1/16-15/16=-(7-√15)/8
所以[sin(α+π/4)]/[sin2α+cos2α+1]=[√2*(√15-1)/8]/[-(7-√15)/8]
=[√2*(√15-1)]/[(√15-7)]
=-(4√2+3√30)/17
5.已知O为坐标原点,向量OA=(2cos²x,1),向量OB=(1,√(sin2x)+a)(x属于R,a属于R且a为常数),若y=向量OA乘向量OB.
(1)求y关于x的函数解析式f(x)
(2)若x属于[0,π/2]时,f(x)的最大值为2,求a的值,并求f(x)的单调区间.
y
=
OA.OB
=
(2(cosx)^2,1).(1，√3sin2x+a)
=
2(cosx)^2
+
√3sin2x+a
(2)
y'
=
-4cosxsinx
+
2√3cos2x
=0
sin2x-√3cos2x=0
tan2x
=
√3
x
=
π/6
y''(π/6)<0
(
max)
y(π/6)
=
2(3/4)+
√3(√3/2)
+
a
=
2
=>
3+a
=2
a
=
-1
6.2sin20°+cos10°+tan20°sin10°的值
2sin20°+cos10°+tan20°*sin10°
=(2sin20°cos20°+cos10°cos20°+sin20°*sin10°)/cos20°(通分)
=(sin40°+cos10°)/cos20°
=(cos50°+cos10°)/cos20°
=2cos30°cos20°/cos20°(和差化积)
=√3