Question

判断并证明f(x)=x^+1分之x在(0,+无穷)的单调性

Answer 1

取任意x2=x1+dx>x1，
f(x2)-f(x1)=x2/[(x2)^2+1]-x1/[(x1)^2+1]
={x2[(x1)^2+1]-x1[(x2)^2+1]}/{[(x2)^2+1][(x1)^2+1]}
={(1-x1x2)(x2-x1)}/{[(x2)^2+1][(x1)^2+1]}
很容易看出来（0，1）里，上式大于0，函数单调递增。(1,正无穷大）里，上式小于0，函数单调递减。
当然直接求导也可得：
f'(x)=(1-x^2)/(1+x^2)^2，可以得出同样的结论。