Question

求函数f(x,y)=sinx+cosy+cos(x-y),0≤x,y≤π/2的极值

Answer 1

二元函数,极值条件为其偏导数同时为0
z=f(x,y)=sinx+cosx+cos(x-y)
dz/dx=cosx-sinx-sin(x-y)=0
dz/dy=-sin(x-y)*(-1)=sin(x-y)=0
可得
sin(x-y)=0,
cosx-sinx=0
即
x-y=kπ,x=π/4+nπ
∴cos(x-y)=±1,sinx=cosx=±√2/2
二者均取负数时,函数取得最小值fmin=-√2-1
二者均取正数时,函数取得最大值fmin=√2+1

Answer 2

极值点的偏导数均为0，即：
cos(x)
cos(y)
cos(x-y)-sin(x)
cos(y)
sin(x-y)=0,
sin(x)
cos(y)
sin(x-y)-sin(x)
sin(y)
cos(x-y)=0
联立解得在定义域中两个解x=0,y=π/2
和
x=π/3,
y=π/6
检验可得当
x=0,y=π/2时取得极小值0；
x=π/3,
y=π/6
时取得极大值
3sqrt(3)/2.

Answer 3

思路：利用极值和导数的关系（极值点,导数为0）
函数关于x,y求偏导数,令其为0,解出x,y的值,和相应的函数值,那就是极值

Answer 4

∂f/∂x=cosx-sin(x-y)
∂f/∂y=-siny+sin(x-y)
∂²f/∂x²=-sinx-cos(x-y)
∂²f/∂y²=-cosy-cos(x-y)
∂²f/∂x∂y=cos(x-y)
先求驻点：
∂f/∂x=∂f/∂y=0
sin(x-y)=siny
所以x=2y或x=π（舍去）
cos2y=siny
2sin^2y+siny-1=0
(2siny-1)(siny+1)=0
siny=1/2或-1（舍去）
y=π/6
x=2y=π/3
所以x0=π/3，y0=π/6是f(x,y)的驻点
A=∂²f/∂x²|(x0,y0)=-√3
B=∂²f/∂x∂y|(x0,y0)=√3/2
C=∂²f/∂y²|(x0,y0)=-√3
因为B^2-AC=-9/4<0，且A<0
所以f(π/3,π/6)=(3√3)/2是函数的极大值