Question

如何证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

Answer 1

直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。

【证法1】

延长AD到E，使DE=AD，连接CE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD，

又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），

    AD=DE，

∴△ADB≌△EDC（SAS），

∴AB=CE，∠B=∠DCE，

∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）

∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠BAC=90°，

∴∠ACE=90°，

∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，

∴△ABC≌△CEA（SAS）

∴BC=AE，

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。

【证法2】

取AC的中点E，连接DE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD=1/2BC，

∵E是AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）

∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）

∴DE垂直平分AC，

∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

【证法3】

延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD，

又∵AD=DE，

∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

∵∠BAC=90°，

∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），

∴AE=BC（矩形对角线相等），

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。

Answer 2

解：如上图在rt△abc中，∠abc=90°，点d为斜边ac上中点
求证 bd=1/2ac
证明：取bc中点e，连接de。
∴de为△abc的中位线
∴de//ab
∴de⊥bc
根据等腰三角形三线合一逆定理
∴bd=cd
∵d为ac中点
∴bd=1/2ac.
因此直角三角形斜边中线等于斜边一半。

Answer 3

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
来自矩形的性质推论，
证明就是将图形补成矩形(中线倍长法)，
再用矩形性质：对角线相等且互相平分得到的。

Answer 4

从
斜边
上的中点向一
直角边
作
垂线
，该垂线也是三角形的一
中位线
，
垂足
是直角边的中点，
上下两三角形全等，斜边的一半等于斜边的中线。

Answer 5

设三角形ABC，角B是直角。D是斜边AC中点。
做ED平行AB交BC与E。
则可知角DEC是直角。（两直线平行同位角相等）
又D是中点，ED平行AB。
所以E是BC中点。
在三角形DBC中。很容易看出
三角形DBE全等于三角形DEC。
则BD=DC.
又D是斜边AC中点。
所以BD=AC=DC.
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