Question

已知奇函数f(x),f(2)=0，当x＞0时，xf'(x)+f(x)＜0，则不等式xf(x)＜0的解是

Answer 1

xf'(x)+f(x)=[xf(x)]的导数<0
令F(x)=xf(x)
所以F(x)在x>0时是
减函数
不等式x>0时，xf(x)<0=2f(2),即x>2
又f(x)为
奇函数
，所以F(x)=xf(x)为
偶函数
所以，x<0时，x<-2也成立
不等式的解为x>2或x<-2

Answer 2

设g(x)=xf(x)
x>=0
求导
g'=xf'(x)+f(x)
已知：当x＞0时，xf'(x)+f(x)＜0
故g'<0,单调减函数。
g(0)=0
故x>0
时，g(x)<0
xf(x)<0
故x>0是
不等式xf(x)＜0的解
而x<0时，-x>0 f(x)是奇函数有：
f(-x)=-f(x)
g(-x)=(-x)(-f(x))=xf(X)
此时xf(x)<0无解。

不等式xf(x)＜0的解是x<0