Question

球高中数学题解答：已知直线方程和圆的方程，怎么求弦长？

Answer 1

该圆圆心为(2,-3),半径为3.
根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离为√5.
由圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离这三个数构成直角三角形的三条边。
由已知：半径为3，圆心到直线的距离为√5.
所以可得弦长一半是2，弦长是4.
例如：一个变式题：
已知过点M（－3，－3）的直线被圆X²＋Y²＋4Y－21＝0所截得的弦长为8，求此直线的方程.
【解】
X²＋Y²＋4Y－21＝0
配方得：X²＋
(Y
+2)²=5²,
该圆圆心为(0,-2),半径为5.
由圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离这三个数构成直角三角形的三条边。
由已知：半径为5，弦长一半是4，
所以圆心到直线的距离为3.
①当过点M（－3，－3）的直线斜率不存在时，直线方程为x=-3,显然适合题意。
②当过点M（...该圆圆心为(2,-3),半径为3.
根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离为√5.
由圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离这三个数构成直角三角形的三条边。
由已知：半径为3，圆心到直线的距离为√5.
所以可得弦长一半是2，弦长是4.
例如：一个变式题：
已知过点M（－3，－3）的直线被圆X²＋Y²＋4Y－21＝0所截得的弦长为8，求此直线的方程.
【解】
X²＋Y²＋4Y－21＝0
配方得：X²＋
(Y
+2)²=5²,
该圆圆心为(0,-2),半径为5.
由圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离这三个数构成直角三角形的三条边。
由已知：半径为5，弦长一半是4，
所以圆心到直线的距离为3.
①当过点M（－3，－3）的直线斜率不存在时，直线方程为x=-3,显然适合题意。
②当过点M（－3，－3）的直线斜率存在时，设其方程为y+3=k(x+3).
即kx-y+3k-3=0.
圆心(0,-2)
到直线的距离为3.
则|2+3k-3|/√(k²+1)=3,解得k=-4/3.
此时直线方程为y+3=-4/3
(x+3).即4x+3y+21=0.

Answer 2

连立为一个方程组，将x=2y+3带入圆的方程，可求出两个x和两个y，这就是两个交点坐标，再用两点距离公式就求出来了。

Answer 3

x=2y
+
3
带入第一个方程
求出两个根x1,x2
用这两个x值分别代入x=2y+3求出y1,y2，
计算点(x1,y1)与(x2,y2)的直线距离