设a1,a2,a3是齐次线性方程组AX=0的基础解系,则a1-a2，a2-a3，a3-a1不是AX=0的基础解系
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证明:
因为
β1,β2,β3
是a1,a2,a3的线性组合
所以
β1,β2,β3
仍是
ax=0
的解.
又因为两个向量组的个数相同,
所以只需证β1,β2,β3线性无关.
(β1,β2,β3)=(a1,a2,a3)k
k
=
1
2
3
2
3
4
1
4
3
因为
|k|=4≠0,
所以
k
可逆.
所以
r(β1,β2,β3)=r[(a1,a2,a3)k]=r(a1,a2,a3)=3
所以
β1,β2,β3
线性无关.
故
β1,β2,β3
是ax=0
的基础解系.
因为
β1,β2,β3
是a1,a2,a3的线性组合
所以
β1,β2,β3
仍是
ax=0
的解.
又因为两个向量组的个数相同,
所以只需证β1,β2,β3线性无关.
(β1,β2,β3)=(a1,a2,a3)k
k
=
1
2
3
2
3
4
1
4
3
因为
|k|=4≠0,
所以
k
可逆.
所以
r(β1,β2,β3)=r[(a1,a2,a3)k]=r(a1,a2,a3)=3
所以
β1,β2,β3
线性无关.
故
β1,β2,β3
是ax=0
的基础解系.
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