Question

当x→0时，下列哪一个函数是x的三阶无穷小

Answer 1

由题意，
lim
x→0
f(x)?f(?x)
x3
＝c≠0，
而函数f （x）在x=0的某邻域内有三阶连续导数
∴上式极限利用洛必达法则，得
c＝
lim
x→0
f′(x)+f′(?x)
3x2
=
lim
x→0
f″(x)?f″(?x)
6x
=
lim
x→0
f″′(x)+f″′(?x)
6
∴必有f′（0）=f″（0）=0，f″′（0）≠0
∴x=0是f（x）的驻点，x=0不是f（x）的极值点，但（0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点
故选：a．

Answer 2

1、将积分分为两部分，前一部分x^3为奇数，根号下为偶函数，因此积分为0，积分剩下
4∫
√(9-x^2)dx
这是填空题，教你个简单方法，用定积分的几何意义，y=√(9-x^2)为上半圆，本题就是求上半圆的面积，结果为4*π*3^2/2=18π
2、周期函数在满一个周期内积分结果是一样的，∫[1-->1+T]
f(x)dx=∫[0-->T]
f(x)dx=1
∫[1-->1+2007T]
f(x)dx=2007∫[1-->1+T]
f(x)dx=2007
3、∫(sinx)^7
dx
=-∫(sinx)^6
dcosx
=-∫(1-(cosx)^2)^3
dcosx
=-∫(1-3(cosx)^2+3(cosx)^4-(cosx)^6)
dcosx
=-cosx+(cosx)^3-3/5(cosx)^5+1/7(cosx)^7
将上下限代入
=1-1+3/5-1/7
=16/35
本题也可直接套公式：6!!/7!!=16/35
4、∫[0-->π]
(sinx)^10dx
=∫[0-->π/2]
(sinx)^10dx+∫[π/2-->π]
(sinx)^10dx
后一个变量代换，x=t+π/2
=∫[0-->π/2]
(sinx)^10dx+∫[0-->π/2]
(sin(t+π/2))^10dt
=∫[0-->π/2]
(sinx)^10dx+∫[0-->π/2]
(sint)^10dt
=2∫[0-->π/2]
(sinx)^10dx
然后套公式