Question

高数问题: 如何证明极限(1+x)^(1/x)存在?

Answer 1

令f(x)=2+1/x,
显然f(x)单调减少。
x1=2=20/10
x2=2+1/2=5/2=25/10
x3=2+1/5/2=2+2/5=24/10
……
递推下去有
x1<x3<x5<……<x2n-1<……<x2n<……<x4<x2
即奇数列增加，偶数列减少。奇数列的上限为x2=5/2，偶数列的下限x1=2，两者都收敛。
下边可以分别令奇偶列的极限为p、q，limx2n-1=p,limx2n=q。（n->∞）
令g(x)=f(f(xn))，g(xn)必定单调增加，则xn+2=f(xn+1)=f(f(xn))=g(xn)，由g(xn)
的连续性可以知道
limxn+2=limg(xn)=g(limxn)，在n分别为奇数或偶数时，
p=g(p)=f(f(p))=(5p+2)/(2p+1)，q=g(q)=f(f(q))=(5q+2)/(2q+1)，
据方程x=(5x+2)/(2x+1)，即x^2-2x-1=0只有正解，x=1+√2=2.414。所以p=q=2.414，也就是奇数列和偶数列的极限都是2.414，故此整个数列{xn}收敛。收敛于2.414。
同样的我们可以得到这样两个关于极限的结论
1、当x3落在以x1、x2构成的区间之外时，数列{xn}发散。
2、当x3落在以x1、x2构成的区间之内时，数列{x2n-1}和{x2n}均收敛，当两者收敛值相同时，数列{xn}收敛。