Question

f(ε)-f(a)/b-ε=f'(ε)

Answer 1

你说的是罗尔中值定理吧
罗尔（rolle）中值定理
如果函数f(x)满足以下条件：
①在闭区间[a,b]上连续,
②在(a,b)内可导,
③f(a)=f(b),
则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0.
罗尔中值定理的证明
证明：因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,所以存在最大值与最小值,分别用m和m表示,现在分两种情况讨论：
1.若m=m,则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数,结论显然成立
2.
若m>m,则因为f(a)=f(b)使得最大值m与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值费马定理点,由条件f(x)在开区间(a,b)内可导得:f(x)在ξ处可导,故由推知:f'(ξ)=0.
罗尔中值定理的几何意义
若连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上所对应的弧段ab,除端点外处处具有不垂直于x轴的切线,且在弧的两个端点a,b处的纵坐标相等,则在弧ab上至少有一点c,使曲线在c点处的切线平行于x轴.
罗尔中值定理还有两个升级版,拉格朗日中值定理和柯西中值定理.拉格朗日中值定理是罗尔中值
的推广,又是柯西中值的特殊情况,这三个在高等数学里是基本定理,很常用很好用.

Answer 2

根据拉格朗日中值定理，f(x)在(a,b)上有f'(ε)=[f(b)-f(a)]/(b-a)对f(x)和y=x^2在(a,b)使用柯西中值定理有[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)
=f'(η)/2η
综上得证