Question

各位数学高手帮忙解决两道数学题

1.当0<a<2时，直线L1：ax-2y=2a-4与直线L2:2x+ya^2=2a^2+4及坐标轴围成一个四边形，要使该四边形面积S最小，a应取何值？并求出S的最小值。
2.已知直线L与圆x^2+y^2+2x=0相切于点M，且与双曲线C：x^2-y^2=1相交于A、B两点，若点M恰为线段AB的中点，求直线L的方程。

Answer 1

解 直线l1:ax-2y=2a-4与两轴的交点为(0,2-a),(2-4/a,0)，直线l2:2x+a²y=2a²+4与两轴的交点为(0,2+4/a²),(a²+2，0),直线l1与直线l2的交点为(2,2).
所以,四边形的面积S=(1/2)(a²+2)(2+4/a²)-(1/2)[(2+4/a²)-(2-a)]*2
=a²-a+4
=(a-1/2)²+15/4.
因此，当a=1/2时，四边形的面积取得最小值15/4.

2、
圆x^2+y^2+2x+0，圆心O(-1,0)，半径r=1
设直线L方程为：x=ky+b ...(1)
点O到L距离=r：1 =|-1-b|/根号(1+k^2) ...(2)
(1)代入x^2-y^2=1: (k^2 -1)y^2 +2kby+(b^2 -1) =0
点T坐标: [x(T),y(T)]
y(T)=(y1+y2)/2 =kb/(1-k^2)
x(T)=k*y(T)+b =b/(1-k^2)
点T在圆上: x(T)^2+y(T)^2+2x(T)=0 ==> k^2(b-2)+b+2=0 ...(3) (2)(3)==> (k,b)=(0,-1),(根号3,1),(-根号3,1)
直线l的方程: x+2=0, x=y*根号3 +1, x+y*根号3 =1