Question

直线与椭圆的相切公式

Answer 1

椭圆中点弦的一般性结论：
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
弦的两端点为(x1,y1),(x2,y2),（x1≠x2）
∴有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减得：
（x1+x2)(x1-x2)/a^2+(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0
∵p（x0，y0）为中点,∴x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
∴2x0(x1-x2)/a^2+2y0(y1-y2)/b^2=0
∴x0/a^2+（y0/b^2）×k=0（其中k=(y1-y2)/
(x1-x2)为中点弦所在直线的斜率）
∴k=(-b^2x0)/(a^2y0)
……这是个重要结论，要记住。
过椭圆x^2/40+y^2/10=1内的一点m(4,-1),若ab被m平分,求ab
的弦长
【解】原方程即为：
x^2+4y^2=40
设a(x1,y1)
b(x2,y2)
作差有：(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
即,(x1+x2)+4(y1+y2)k=0
又x1+x2=8,y1+y2=-2
即k=1
所以ab所在直线方程为:y=x-5
将y=x-5与x^2+4y^2=40联立得：
x^2+4(x-5)^2=40,
5
x^2-40x+60=0,
x^2-8x+12=0,
x=2或6，
所以两个交点为(2,-3),(6,1),
|ab|=4√2.