Question

线性代数题目:设三阶矩阵A的特征值为λ1=2 λ2=-2 λ3=1 对应的特征值向量依次为P1=（0 1 1）P2=(1 1 1)

Answer 1

【解法一】由AP1=λ1P1，AP2=λ2P2，AP3=λ3P3，知P1，P2，P3是矩阵A的不同特征值的特征向量，它们线性无关。利用分块矩阵，有A(P1，P2，P3)=(λ1P1，λ2P2，λ3P3），因为矩阵（P1，P2，P3）可逆，故A=(λ1P1，λ2P2，λ3P3）(P1，P2，P3)-1根据矩阵乘法运算，得A为-23-3-45-3-44-2【解法二】因为矩阵A有3个不同的特征值，所以A可相似对角化，有Q-1AQ=B，Q=（p1，p2，p3），B为2000-20001那么A=QBQ-1=下略。【评注】反求矩阵A的过程，解法一是通过特征值，特征向量与A的关系求解。解法二是通过相似对角阵来求解。newmanhero2015年4月18日15:34:37希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 2

由AP1=λ1P1，AP2=λ2P2，AP3=λ3P3，知P1，P2，P3是矩阵A的不同特征值的特征向量，它们线性无关。利用分块矩阵，有
A(P1，P2，P3)=(λ1P1，λ2P2，λ3P3），因为矩阵（P1，P2，P3）可逆，故
A=(λ1P1，λ2P2，λ3P3）(P1，P2，P3)-1
根据矩阵乘法运算，得A为
-2
3
-3
-4
5
-3
-4
4
-2

Answer 3

【解法一】
由AP1=λ1P1，AP2=λ2P2，AP3=λ3P3，知P1，P2，P3是矩阵A的不同特征值的特征向量，它们线性无关。利用分块矩阵，有
A(P1，P2，P3)=(λ1P1，λ2P2，λ3P3），因为矩阵（P1，P2，P3）可逆，故
A=(λ1P1，λ2P2，λ3P3）(P1，P2，P3)-1
根据矩阵乘法运算，得A为
-2
3
-3
-4
5
-3
-4
4
-2
【解法二】
因为矩阵A有3个不同的特征值，所以A可相似对角化，有
Q-1AQ
=
B，Q=（p1，p2，p3），B为
2
0
0
0
-2
0
0
0
1
那么A=QBQ-1=...
下略。
【评注】
反求矩阵A的过程，解法一是通过特征值，特征向量与A的关系求解。解法二是通过相似对角阵来求解。
newmanhero
2015年4月18日15:34:37
希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 4

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 5

题目中给出的特征值向量依次为
P1=（0
1
1），P2=(1
1
1)，P3=(1
1
0)错误，
不同特征值的特征向量应互相正交。
记特征值矩阵
∧
=
diag(λ1,
λ2,
λ3),
特征向量矩阵
P
=
(p1,
p2,
p3),
则
AP
=
P∧，
A
=
P∧P^(-1).