Question

已知抛物线y²=2px,过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,求证:向量OA×向量OB为定值

Answer 1

F（p/2，0），设直线
AB
的方程为
y=k(x-p/2)
，
与抛物线方程联立得
2py=k(2px-p^2)
，
化简得
ky^2-2py-kp^2=0
，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
y1+y2=2p/k
，y1*y2=
-p^2
，
所以
x1*x2=(y1^2/2p)*(y2^2/2p)=p^2/4
，
因此
OA*OB=x1*x2+y1*y2=p^2/4-p^2=
-3p^2/4
为定值
。