Question

求助一道高数证明题

哪位大侠帮忙解答一下，不胜感激！
已知在f（x）在（a,b）上连续，
求证：在（a,b）上必存在一点§，使得：
f（x）从a到§的积分=（b-§）*f（§）

Answer 1

构造g(t)=∫f(x)dx(a到t)-f(x)*(b-x)
g(a)=-f(a)(b-a)
g(b)=∫f(x)dx(a到b)=f(c)(b-a)(积分平均值定理,c在(a,b)上)

如果f(a),f(c)同号或等于0,那么g(a),g(b)不同号,所以必存在一点§,使g(§)=0,也就是f（x）从a到§的积分=（b-§）*f（§）

如果f(a),f(c)不同号
不妨设f(a)>0,那么闭可以在(a,c)上找第一个使f(x)=0的点d,那么g(d)=∫f(x)dx(a到d)>0
所以在(a,d)必存在一点§,使g(§)=0,也就是f（x）从a到§的积分=（b-§）*f（§）

Answer 2

容我想想

Answer 3

这么强，回答的！高手佩服，是不是登哥啊？你