Question

若a1>0且a1不等于1，an+1=2an/1+an(n属于N*)

求证:an+1不等于an 令a1=1/2，写出a2,a3,a4,a5的值，观察并归纳这个数列的通项公式an 证明:存在不等于零的常数p,使得{(an+p)/an}是等比数列，并求出公比q的值

Answer 1

假设An+1=An
则An=2An/1+An，得An=0或1
与题意相矛盾
所以an+1不等于an
a2=2/3
a3=4/5
a4=8/9
a5=16/17
由An+1=2An/1+An
等式两边被1除得
1/A(n+1)=1/2An+1/2
等式两边各加X
1/A(n+1)+X=1/2An+1/2+X
=1/2(1/An
+1+2X)
令X=1+2X
得X=-1
所以
1/A(n+1)-1=1/2(1/An
-1)
即{1/An
-1}为等比数列
首项为1/A1-1=1
公比q为1/2
1/An
-1=2^(1-n)
An=1/[2^(1-n)+1]
(An等于2的(1-n)次方加上1的倒数)
A1=1/2符合上式
所以An=1/[2^(1-n)+1]