Question

求最大值与最小值

求函数f（A）=（sinA-1)/(cos-2)的最大值和最小值。

Answer 1

求函数f（A）=（sinA-1)/(cosA-2)的最大值和最小值。
解
设tan(A/2)=x，则sinA=2x/(1+x^),cosA=(1-x^2)/(1+x^2)。
对f(A)作置换得:令y=f(A)
y=(x^2-2x+1)/(3x^2+1)
<==>
[3y-1]x^2+2x+y-1=0
因为f(A)是实数，由判别式得:
4-4(y-1)*(3y-1)≥0
<==>
3y^2-4y≤0
解此不等式得:0≤y≤4/3.
所以f(A)=(sinA-1)/(cosA-2)的最大值为4/3，最小值为0.
另解:因为
f(A)=(sinA-1)/(cosA-2),
所以,f(A)是动点P(cosA,sinA)与定点K(2,1)连线的斜率,
由于动点P(cosA,sinA)在单位圆上,因此问题转化为求过定点K(2,1)的圆的两条切线的斜率.
由圆方程:x^2+y^2=1及直线方程:y=kx+1-2k相切求得:k=0,k=4/
因此,函数f（A）=（sinA-1)/(cosA-2)的最大值为4/3,最小值为0.