Question

在锐角△ABC中，A、B、C三内角所对的边分别为a、b、c，cos2A+12=s...

在锐角△ABC中，A、B、C三内角所对的边分别为a、b、c，cos2A+12=sin2A，a=7． （1）若b=3，求c； （2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

解：∵cos2A+12=sin2A，
∴cos2A-sin2A=-12，即cos2A=-12，
又0＜A＜π2，∴0＜2A＜π，
∴2A=2π3，即A=π3，
（1）∵a=7，b=3，cosA=12，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得：7=9+c2-3c，即c2-3c+2=0，
解得：c=1或c=2，
而当c=1时，cosB=a2+c2-b2 2ac=-127＜0，与B为锐角矛盾，
∴c=1舍去，即c=2；
（2）∵a=7，cosA=12，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得：b2+c2-bc=7，
又b2+c2≥2bc，
∴b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤7，
∴S=12bcsinA≤12×7×32=734，
则△ABC面积的最大值为734．