Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，短轴一个端点到右...

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3． （1）求椭圆C的方程； （2）直线y=x与椭圆C在第一象限相交于点A，试探究在椭圆C上存在多少个点B，使△OAB为等腰三角形．（简要说明理由，不必求出这些点的坐标）

Answer 1

解：（1）由于短轴一个端点到右焦点的距离为3，则a=3…（1分），
因为e=ca=63…（2分），所以c=6…（3分），
所以b2=a2-c2=9-6=3…（4分），
所以椭圆C的方程为：x29+y23=1…（5分）
（2）直线方程与椭圆方程联立x29+y23=1y=x（x＞0），解得x=y=32，即A(32，32)…（6分）
以O为顶点的等腰三角形△OAB有两个，此时B为A关于x轴或y轴的对称点…（8分），
以A为顶点的等腰三角形△OAB有两个（9分），此时B为以A为圆心、AO为半径的圆弧与椭圆C的交点…（10分），
以AO为底边的等腰三角形△OAB有两个（11分），此时B为AO的垂直平分线与椭圆C的交点…（12分）．
因为直线y=x倾斜角为π4，所以以上等腰△OAB不可能是等边三角形…（13分），
即以上6个三角形互不相同，存在6个点B，使△OAB为等腰三角形…（14分）．