Question

用比较判别法或极限形式的比较判别法判定下列级数的敛散性？

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Answer 2

(2)，设un=(1+n)/(1+n²)，vn=1/n。∴lim(n→∞)un/vn=lim(n→∞)n(n+1)/(1+n²)=1。∴级数∑un与级数∑vn有相同的敛散性。而，∑vn=∑1/n，是调和级数，发散。∴级数∑(1+n)/(1+n²)发散。
(3)，设un=1/√(n+n²)，vn=1/n。∴lim(n→∞)un/vn=lim(n→∞)n/√(n+n²)=1。∴级数∑un与级数∑vn有相同的敛散性。而，∑vn=∑1/n，是调和级数，发散。∴级数∑1/√(n+n²)发散。
(5)，设un=sin[π/2^(n+1)]，vn=π/2^(n+1)。∴lim(n→∞)un/vn=1。∴级数∑un与级数∑vn有相同的敛散性。而，∑vn=π∑1/2^(n+1)，是首项为1/4、公比q=1/2的等比级数，满足丨q丨<1的条件，收敛。∴级数∑sin[π/2^(n+1)]收敛。
供参考。