Question

已知向量m=(根号3sin2x+2，cosx)，n=(1，2cosx)设函数f(x)=mn

求f(x)的最小值与单调递减区间；在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f(A+派/6)=2，b=1，三角形ABC的面积为根号3/2，求a的值。

Answer 1

解： (1) ∵向量m=((√3)sin(2x)+2，cosx)，向量n=(1，2cosx) ∴f(x) =向量m•向量n =((√3)sin(2x)+2，cosx)•向量n=(1，2cosx) =(√3)sin(2x)+2+2(cosx)^2 =(√3)sin(2x)+cos(2x)+3 =2sin(2x+π/6)+3 则最小正周期T=2π/2=π. 令π/2+2kπ≤2x+π/6≤3π/2+2kπ，得：π/6+kπ≤x≤2π/3+kπ(k∈Z) 则单调减区间为[π/6+kπ，2π/3+kπ](k∈Z). (2) ∵f(x)=2sin(2x+π/6)+3 ∴f(A)=2sin(2A+π/6)+3 ∵f(A)=4 ∴2sin(2A+π/6)+3=4 ∴2sin(2A+π/6)=1 ∴sin(2A+π/6)=1/2 ∴2A+π/6=π/6或2A+π/6=5π/6 ∵在△ABC中，A≠0 ∴2A+π/6≠π/6 ∴2A+π/6=5π/6 ∴2A=2π/3 ∴A=π/3 ∴sinA=(√3)2，cosA=1/2 ∵b=1 ∴S△ABC=(1/2)bcsinA=[(√3)/4]c ∵S△ABC=(√3)/2 ∴[(√3)/4]c=(√3)/2 ∴c=2 ∴a=√(b^2+c^2-2bccosA)=√(1^2+2^2-2×1×2×1/2)=√3.