Question

sinX的n次幂 求积分

Answer 1

首先做一点简化：
∫
[从0到π]x*(sinx)^ndx=
∫
[从0到π/2]x*(sinx)^ndx+∫
[从π/2到π]x*(sinx)^ndx
其中在计算∫
[从π/2到π]x*(sinx)^ndx的时候可以令t=π-x
则∫
[从π/2到π]x*(sinx)^ndx=∫
[从π/2到0](π-x)*(sin(π-x))^nd(π-x)
=∫
[从0到π/2](π-t)*(sint)^ndt=∫
[从0到π/2](π-x)*(sinx)^ndx，和第一项合并
所以原式=∫
[从0到π/2]π*(sinx)^ndx=π∫
[从0到π/2](sinx)^ndx
.........................(1)
于是原题就转化成了求∫
[从0到π/2](sinx)^ndx，下面的积分不特殊说明都是从0到π/2
记an=∫
(sinx)^ndx,
则an=∫
(sinx)^ndx==∫
(sinx)^(n-1)d(-cosx)=(sinx)^(n-1)*(-cosx)+∫
cosxd(sinx)^(n-1)
=0+∫
(n-1)(cosx)^2(sinx)^(n-2)dx=(n-1)∫
(1-(sinx)^2)(sinx)^(n-2)dx
=(n-1)∫
(sinx)^(n-2)dx-(n-1)∫
(sinx)^ndx
=(n-1)a(n-2)-(n-1)an
所以an=a(n-2)
*
(n-1)/n
这就给出了一个递推关系，直接计算得a0=π/2,a1=1
所以a(2n)=(2n-1)!!/(2n)!!
*π/2,
a(2n+1)=(2n)!!/(2n+1)!!
带回到(1)式，原式=π*an,带入即可