Question

怎么判断敛散性

Answer 1

先判断这是正项级数还是交错级数
　　一、判定正项级数的敛散性

　　1.先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出，可跳过这一步）。若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则

　　2.再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的，如果不是几何级数或p级数，则

　　3.用比值判别法或根值判别法进行判别，如果两判别法均失效，则

　　4.再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，一般应根据通项特点猜测其敛散性，然后再找出作为比较的级数，常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等。

　　二、判定交错级数的敛散性

　　1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定。

　　2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定。

　　3.一般情况下，若级数发散，级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散，则级数必发散。

　　4.有时可把级数通项拆分成两个，利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定。

　　三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域

　　1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增，则其收敛半径由或求出，进而可以写出收敛区间，再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域。

　　2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数，可根据比值判别法求收敛半径，也可作代换，换成t的幂级数，再求收敛半径。

　　四、求幂级数的和函数与数项级数的和

　　1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式，再求和。

　　2.求数项级数的和，可利用定义求出部分和，再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值。

　　五、将函数展开为傅里叶级数

　　将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数，这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算，然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系。

Answer 2