Question

已知0<α<β<π/2,sinα与sinβ是方程x^2-(

已知0<α<β<π/2,sinα与sinβ是方程x^2-(根号2 cos40°）x+（cos40°）^2-0.5=0的两个根，求cos（2α-β）的值

Answer 1

sinα与sinβ是方程x^2-(根号2
co
s40
°）x+（cos40°）^2-0.5=0的两个根
由伟达定理
sinα+sinβ=根号2
cos40°
sinα*sinβ=（cos40°）^2-0.5
则（sinα+sinβ）^2=2（cos40°）^2
则可知
（sinα）^2+(sinβ)^2+2sinα*sinβ=2（cos40°）^2
而2sinα*sinβ=2（cos40°）^2-1
所以：
（sinα）^2+(sinβ)^2+2sinα*sinβ=2sinα*sinβ+1
则（sinα）^2+(sinβ)^2=1
0<α<β<π/2
则cosα=sinβ
即α+β=π/2
代入解得：
sinα+cosα=根号2
cos40°
则号2cos(α-45°）=根号2
cos40°
则α=85°或5°，所以β=5°或85°
cos（2α-β）=cos165°=-cos15°
cos30°=根号3/2
=2（cos15°）^2-1
则cos15°=（根号3+1）/4
所以cos（2α-β）=-（根号3+1）/4
或者=cos（2α-β）=cos-75°=sin15°=（根号3-1）/4