Question

一个分部积分法的问题

我对分部积分法的一个细节不太明白。
例如，∫xsinxdx.
根据法则，有∫udv=uv-∫vdu
所以设u=x,dv=sinx dx.那么du=dx, v=-cosx
接着我的问题就来了，把dv=sinx dx两边积分，得到的不应该是v=-cosx+C吗，为什么是v=-cosx？为什么所有这样的题目里都没有了常数C？

Answer 1

按照你的想法，v=-cosx+c1,§udv=uv-§vdu=x(-cosx+c1)-§(-cosx+c1)dx=-xcosx+sinx+c2，其中c1,c2都是常数，为了好看一点，一般都用C来表示。在分部积分过程中，v可以加一个常数，但在后面会消去，所以为运算简便，一般只在最后的结果再加一个C常数就可以了。

Answer 2

分步积分公式有两种形式，∫uv’dx=uv-∫u’vdx和∫udv=uv-∫vdu∫xsinxdx 设x为u，则u’=x’=1,设－cosx为v，则 dv=d（－cosx）= sinxdx;∫xsinxdx=x(－cosx)- ∫(－cosx)dx= －xcosx＋sinx＋C无论有多少常数，最后都要相加合并，所以只用一个C代替即可

Answer 3

这道题的解答应该是这样：∫xsinxdx=∫xd（-cosx）=x（-cosx）+∫cosxdx=-xcosx+sinx+c 确实把dv=sinx dx两边积分，得到的应该是v=-cosx+C，但是
d（-cosx+c）不就等于d（-cosx）+dC=d(-cosx)吗dC等于零，不要忘了这不是对v积分，而是对xsinx积分。明白了吗？

Answer 4

同学，你左边的v也积分了的啦！左边也应有个常数C，所以最后就没有了啦。。