Question

用数列极限的分析定义证明

Answer 1

证明：
1）
对于∀ε>0，则：
|(n²+2)/(n²+n) - 1|
=|(n²+2-n²-n)/(n²+n)|
=|(n-2)/(n²+n)|
＜|(n-2)/(n²+n-6)|
=|(n-2)/(n-2)(n+3)|
=1/(n+3)<ε
即：
n>(1/ε)-3
取N=[(1/ε)-3]，N∈Z，则：
对于∀ε>0，∃N=[(1/ε)-3]，当n>N时，
|(n²+2)/(n²+n) - 1| <ε 恒成立
∴lim(n→∞) (n²+2)/(n²+n) = 1
2）
对于∀ε>0，则：
|1-(1/2^n)-1|
=|(1/2^n)|
=1/2^n ＜ε
即：
n>log(2) 1/ε
取N=[log(2) 1/ε]，N∈Z，则：
对于∀ε>0，∃N=[log(2) 1/ε]，当n>N时，
|1-(1/2^n)-1|＜ε恒成立
∴lim(n→∞) 1-(1/2^n) = 1