Question

已知tan a+sin a=b，tan a-sin a=c，求证(b²-c²)²=16bc

Answer 1

设x,y,z为一直角三角形的三边，其中x为角a的对边，y为另一直角边，z为斜边。
所以tan
a=x/y,sin
a=x/z.x²+y²=z².
已知条件变为b=x/y
+x/z
，c=x/y-x/z.
将b
c带入要求证的等式两边，
左边=(b²-c²)²=x²/y²
+x²/z²
-2x²/yz
-x²/y²
-x²/z²
+2x²/yz
)²=16x^4/(yz)²
右边=16bc=16×(x²/y²
-x²/z²)=16x²(z²-y²)/y²z²因为x,y,z为直角三角形的三边，所以z²-y²=x²，原式化为16x^4/(yz)²
左右两边相等，均为16x^4/(yz)²，所以等式成立。