Question

为什么说加速度a与速度垂直时，不改变速度的大小只改变速度的方向？

Answer 1

楼主的问题，我提供两种版本的解释：
版本1：（需要微分和矢量的知识）
下面的符号F、a、v都是矢量，
合力F方向垂直速度v方向，也就是加速度a方向垂直速度方向，那么，a和v的点乘
v·a=v·（dv/dt）=|v||dv/dt|cos90°=0，
即dv²/dt=0,得v²=常数，那么，
|v|=常数，
也就是说，加速度方向垂直于速度方向时，速度大小|v|不变，改变的只能是方向了。
版本2：（需要矢量合成规则和极限的思想）
我们把问题反过来讨论，即，质点做速度大小不变的曲线运动，那么，加速度垂直于速度方向。
设某时刻，质点速度为v，经过一小段时间Δt，速度为v'，方向变化了，那么，速度由v变化到v'，速度变化量Δv=v'-v，请注意，速度是矢量，v'-v≠0，速度的大小|v|和|v'|的差才为0。
把矢量v、v'和Δv用图示画在一起（如图），发现它们可以构成一个等腰三角形，v和v'是相等的两个腰。
当时间间隔Δt越小，v和v'的夹角就越小，而Δv和v的夹角就越接近90°，同样，Δv/Δt和v的夹角也越接近90°，可以想象，最终的极限情形就是Δv和v的夹角等于90°，同样，Δv/Δt和v的夹角也等于90°，要知道，Δv/Δt就是平均加速度，而Δv/Δt的极限情形就是瞬时加速度，即我们平时说的加速度，这样，你明白了，速度大小不变而方向改变，加速度方向就会垂直速度方向。